Разложение на множители. Применение разложение многочленов на множители Разложить на множители различные способы

WikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 23 человек(а).

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами. Разложение на множители используется для упрощения алгебраических уравнений, чтобы облегчить их решение. Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную.

Шаги

Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

1. Разложение на множители чисел. Концепция разложения на множители проста, но на практике разложение на множители может оказаться непростой задачей (если дано сложное уравнение). Поэтому для начала рассмотрим концепцию разложения на множители на примере чисел, продолжим с простыми уравнениями, а затем перейдем к сложным уравнениям. Множители данного числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 12 являются числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, так как 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Аналогично, вы можете рассматривать множители числа как его делители, то есть числа, на которые делится данное число.
   • Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей.
     • Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

2. Запомните: члены выражения, содержащие коэффициент (число) и переменную, также могут быть разложены на множители. Для этого найдите множители коэффициента при переменной. Зная, как разложить на множители члены уравнений, можно легко упростить данное уравнение.

   • Например, член 12x может быть записан в виде произведения 12 и х. Вы также можете записать 12x как 3(4x), 2(6x) и т.д., разложив число 12 на наиболее подходящие вам множители.
     • Вы можете раскладывать 12x несколько раз подряд. Другими словами, вы не должны останавливаться на 3(4x) или 2(6x); продолжите разложение: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, что 3(4x)=3(2(2x)) и т.д.)

3. Примените распределительное свойство умножения для разложения на множители алгебраических уравнений. Зная, как разложить на множители числа и члены выражения (коэффициенты с переменными), вы можете упростить несложные алгебраические уравнения, найдя общий множитель числа и члена выражения. Обычно для упрощения уравнения необходимо найти наибольший общий делитель (НОД). Такое упрощение возможно благодаря распределительному свойству умножения: для любых чисел а, b, с верно равенство a(b+c) = ab+ac.

   • Пример. Разложите на множители уравнение 12х + 6. Во-первых, найдите НОД 12x и 6. 6 является наибольшим числом, которое делит и 12x, и 6, поэтому вы можете разложить данное уравнение на: 6(2x+1).
   • Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3).

   Разложение на множители квадратных уравнений

   1. Убедитесь, что уравнение дано в квадратичной форме (ax 2 + bx + c = 0). Квадратные уравнения имеют вид: ax 2 + bx + c = 0, где а, b, с - числовые коэффициенты отличные от 0. Если вам дано уравнение с одной переменной (х) и в этом уравнении есть один или несколько членов с переменной второго порядка, вы можете перенести все члены уравнения на одну сторону уравнения и приравнять его к нулю.

      • Например, дано уравнение: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Оно может быть преобразовано в уравнение x 2 + 6x + 9 = 0, которое является квадратным уравнением.
      • Уравнения с переменной х больших порядков, например, x 3 , x 4 и т.д. не являются квадратными уравнениями. Это кубические уравнения, уравнения четвертого порядка и так далее (только если такие уравнения не могут быть упрощены до квадратных уравнений с переменной х в степени 2).

   2. Квадратные уравнения, где а = 1, раскладываются на (x+d)(x+e), где d*е=с и d+е=b. Если данное вам квадратное уравнение имеет вид: x 2 + bx + c = 0 (то есть коэффициент при x 2 равен 1), то такое уравнение можно (но не гарантированно) разложить на вышеуказанные множители. Для этого нужно найти два числа, которые при перемножении дают «с», а при сложении – «b». Как только вы найдете такие два числа (d и е), подставьте их в следующее выражение: (x+d)(x+e), которое при раскрытии скобок приводит к исходному уравнению.

      • Например, дано квадратное уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, поэтому вы можете разложить данное уравнение на (х+3)(х+2).
      • В случае отрицательных членов внесите следующие незначительные изменения в процесс разложения на множители:
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx+c, то оно раскладывается на: (х-_)(х-_).
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx-c, то оно раскладывается на: (х+_)(х-_).
      • Примечание: пробелы могут быть заменены на дроби или десятичные числа. Например, уравнение x 2 + (21/2)x + 5 = 0 раскладывается на (х+10)(х+1/2).

   3. Разложение на множители методом проб и ошибок. Несложные квадратные уравнения можно разложить на множители, просто подставляя числа в возможные решения до тех пор, пока вы не найдете правильного решения. Если уравнение имеет вид ax 2 +bx+c, где a>1, возможные решения записываются в виде (dx +/- _)(ex +/- _), где d и е - числовые коэффициенты отличные от нуля, которые при перемножении дают а. Либо d, либо e (или оба коэффициента) могут быть равны 1. Если оба коэффициента равны 1, то воспользуйтесь способом, описанным выше.

      • Например, дано уравнение 3x 2 - 8x + 4. Здесь 3 имеет только два множителя (3 и 1), поэтому возможные решения записываются в виде (3x +/- _)(х +/- _). В этом случае, подставив вместо пробелов -2, вы найдете правильный ответ: -2*3x=-6x и -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, то есть такое разложение при раскрытии скобок приведет к членам исходного уравнения.

   4. Полный квадрат. В некоторых случаях квадратные уравнения могут быть быстро и легко разложены на множители с помощью специальной алгебраической идентичности. Любое квадратное уравнение вида x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2 . То есть, если в вашем уравнении коэффициент b равен удвоенному квадратному корню из коэффициента c, то ваше уравнение можно разложить на (x + (кВ.корень(c))) 2 .

      • Например, дано уравнение x 2 + 6x + 9. Здесь 3 2 =9 и 3*2=6. Поэтому это уравнение раскладывается на (х+3)(х+3) или (x + 3) 2 .

   5. Используйте разложение на множители для решения квадратных уравнений. Разложив уравнение на множители, вы можете приравнять каждый множитель к нулю и вычислить значение х (под решением уравнения подразумевается нахождение значений х, при которых уравнение рано нулю).

      • Вернемся к уравнению x 2 + 5x + 6 = 0. Это уравнение раскладывается на множители (х+3)(х+2)=0. Если один из множителей равен 0, то все уравнение равно 0. Поэтому запишем: (х+3)=0 и (х+2)=0 и найдем х=-3 и х=-2 (соответственно).

   6. Проверьте ответ (некоторые ответы могут быть неправильными). Для этого подставьте найденные значения х в исходное уравнение. Иногда при подстановке найденных значений исходное уравнение не равно нулю; это значит, что такие значения х неверные.

      • Например, подставьте х=-2 и х=-3 в x 2 + 5x + 6 = 0. Сначала подставим х=-2:
        • (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
        • 4 + -10 + 6 = 0
        • 0 = 0. То есть х=-2 - правильный ответ.
      • Теперь подставьте х=-3:
        • (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
        • 9 + -15 + 6 = 0
        • 0 = 0. То есть х=-3 - правильный ответ.

   Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.

   Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также

   Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x 6 есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x 3 , квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x 3 , ибо 2x 3 = 2 · x 3 · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x 3 и 1, т. е. он равен (x 3 – 1) 2 . Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a 2 b 2 – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a 2 b 2 , следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.

   (ab + 5) (ab – 5).

   Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.

   9a 2 + b 2 + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b) 2 .

   … (переставим мысленно первый и второй члены).

   25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 и т. п.

   Рассмотрим еще многочлен

   a 2 + 2ab + 4b 2 .

   Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 , то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.

   40. Соединение обоих приемов . Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:

   1. 2a 3 – 2ab 2 . Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a 2 – b 2). Множитель a 2 – b 2 , в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).

   Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:

   1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

   Мы видим, что первый множитель a 2 + b 2 не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a 2 + b 2 (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a 2 – b 2 (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,

   

   41. Применение особых случаев деления . На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,

   

   Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем - при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.

   Формулы сокращенного умножения

   По формулам сокращенного умножения:

   разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму

   Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы

   Переход к разности выражений в 4 степени

   Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение $a^4-b^4$

   Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n*m}$

   Тогда можно представить:

   $a^4={{(a}^2)}^2$

   $b^4={{(b}^2)}^2$

   Значит, наше выражение можно представить, как $a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2$

   Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.

   Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена - $a$ - умножим на первый и второй член второго (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, затем второй член первого многочлена -$b$- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ и составим сумму получившихся выражений

   $\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

   Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:

   $a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2={(a}^2-b^2)(a^2+b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

   Переход к разности выражений в 6 степени

   Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение $a^6-b^6$

   Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n\cdot m}$

   Тогда можно представить:

   $a^6={{(a}^3)}^2$

   $b^6={{(b}^3)}^2$

   Значит, наше выражение можно представить, как $a^6-b^6={{(a}^3)}^2-{{(b}^3)}^2$

   В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$

   Исходное выражение принимает вид

   $a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)$

   Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.

   $(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

   Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:

   $a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

   Разложение на множители разности степеней

   Проанализируем формулы разности кубов, разности $4$ степеней, разности $6$ степеней

   Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:

   Пример 1

   Разложить на множители ${32x}^{10}-{243y}^{15}$

   Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:

   \[{32x}^{10}={(2x^2)}^5\]\[{243y}^{15}={(3y^3)}^5\]

   Используем формулу разности степеней

   Рисунок 1.

   В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

   a(b + c) = ab + bc

   Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

   ab + bc = a(b + c)

   Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

   ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

   ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

   В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

   При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

   Рассмотрим полином 14ab - 63b 2 . Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

   Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

   14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

   Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции - раскрытия скобки:

   7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

   Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

   5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

   Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

   5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

   в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

   b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

   Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

   8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

   Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

   Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a 2 . У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b 3:

   8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

   В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

   Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

   x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

   Еще один пример. Необходимо разложить выражение

   5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

   Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

   -(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

   Значит, можно заменить (3x - 8y) на - (8y - 3x):

   5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

   Ответ: (8y - 3x)(5t - 2s).

   Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

   (a - b) = - (b - a)

   

   Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

   

   Этот прием часто используется при решении заданий.

   Способ группировки

   Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

   ab - 5a + bc - 5c

   Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

   ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

   Теперь можно вынести выражение b - 5:

   a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

   Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

   Пример. Разложим полином 6xy + ab- 2bx- 3ay.

   Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

   6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

   Разности 3y - b и b - 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

   (b - 3y) = - (3y - b)

   Используем эту замену:

   2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

   В результате получили тождество:

   6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

   Ответ: (3y - b)(2x - a)

   Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

   x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

   можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

   x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

   Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

   Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 - 8x +15.

   Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

   Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

   x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

   Сгруппируем слагаемые:

   x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

   Ответ: (x- 5)(х - 3).

   Конечно, догадаться о замене - 8х = - 3х - 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

   (x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

   Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 - 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

   

   С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= - 3 и b = - 5. Тогда

   (x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

   в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

   Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

   x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)

   Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

   (2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

   В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

   невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

   Применение разложение многочленов на множители

   Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

   Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

   Обозначим сумму

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

   за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

   x + 2 9 = 2(1 + x)

   Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

   x + 2 9 = 2(1 + x)

   x + 2 9 = 2 + 2x

   2x - x = 2 9 - 2

   x = 512 - 2 = 510

   Теперь выразим искомую нами сумму через х:

   2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

   При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

   Теперь вычислим значение выражения

   38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

   38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

   81 4 - 9 7 + 3 12

   делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

   81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

   Зная это, произведем замену в исходном выражении:

   81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

   Вынесем 3 12:

   3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

   Произведение 3 12 .73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 - 9 7 + 3 12 делится на это число.

   Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

   (a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

   Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

   (a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)

   (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

   Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

   (x - y)(x + y) - 2x(x - y)

   не является положительным числом.

   Решение. Вынесем общий множитель х - у:

   (x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

   Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядкомбуквx и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

   (x - y) = -(y - x)

   Тогда можно записать:

   (x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

   Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у - х) 2 . Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

   Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

   

   Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

   Пример. Решите уравнение (s - 1)(s + 1) = 0.

   Решение. В левой части записано произведение мономов s - 1 и s + 1, а в правой - ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s - 1, или s + 1:

   (s - 1)(s + 1) = 0

   s - 1 = 0 или s + 1 = 0

   s = 1 или s = -1

   Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

   Ответ: -1; 1.

   Пример. Решите уравнение 5w 2 - 15w = 0.

   Решение. Вынесем 5w:

   Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

   5w = 0 или (w - 3) = 0

   w = 0 или w = 3

   Ответ: 0; 3.

   Пример. Найдите корни уравнения k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

   Решение. Сгруппируем слагаемые:

   k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

   (k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

   k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

   (k 3 + 3)(k - 8) = 0

   k 2 + 3 = 0 или k - 8 = 0

   k 2 = -3 или k = 8

   Заметим, что уравнение k 2 = - 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

   Пример. Найдите корни уравнения

   (2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

   Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

   (2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

   (2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

   (2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

   (2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

   (2u - 12)(u + 3) = 0

   2u - 12 = 0 или u + 3 = 0

   u = 6 или u = -3

   Ответ: - 3; 6.

   Пример. Решите уравнение

   (t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

   (t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

   (t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

   (t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

   (t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

   t 2 - 5t = 0 или t 2 - 5t + 6 = 0

   t = 0 или t - 5 = 0

   t = 0 или t = 5

   Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену - 5t = - 2t - 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

   t 2 - 5t + 6 = 0

   t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

   t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

   (t - 3)(t - 2) = 0

   T - 3 = 0 или t - 2 = 0

   t = 3 или t = 2

   В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

   Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители.

   Например, разложить на множители: x 2 /3-3x+12 . Запишем как x^2/3-3*x+12 . Также можно использовать и этот сервис , где все выкладки сохраняются в формате Word .

   Например, разложить на слагаемые . Запишем как (1-x^2)/(x^3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .

   Примечание : число "пи" (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .

   1. Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
   2. Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .

   см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)

   Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:

   1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
   2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
   3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
   4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
   5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
   6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
   7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

   Методы разложения на множители

   Изучив несколько приемов разложение на множители можно составить следующую классификацию решений:
   1. Использование формул сокращенного умножения.
   2. Поиск общего множителя.